Álgebra/Álgebra de Boole/Definición

Dado un conjunto: ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ formado cuando menos por los elementos: ${\displaystyle \varnothing ,\;U}$ en el que se ha definido:

• Una operación unaria interna, que llamaremos complemento:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\sim :&{\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&a&\to &b=\sim a\end{array}}}$

En esta operación definimos una aplicación que, a cada elemento a de B, le asigna un b de B.

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !b\in {\mathfrak {B}}\;/\quad b=\sim a}$

Para todo elemento a en B, se cumple que existe un único b en B, tal que b es el complemento de a.

• La operación binaria interna, que llamaremos suma:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\oplus :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\oplus b\end{array}}}$

por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\oplus b}$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de sumar a con b.

• La operación binaria interna, que llamaremos producto:

${\displaystyle {\begin{array}{rrcl}\odot :&{\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}&\to &{\mathfrak {B}}\\&(a,b)&\to &c=a\odot b\end{array}}}$

Con lo que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de B por B, le asigna un c de B.

${\displaystyle \forall (a,b)\in {\mathfrak {B}}\times {\mathfrak {B}}\,:\quad \exists !c\in {\mathfrak {B}}\;/\quad c=a\odot b}$

Para todo par ordenado (a, b) en B por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado del producto a y b.

Dada la definición del álgebra de Boole como una estructura algebraica genérica, según el caso concreto de que se trate, la simbología y los nombres de las operaciones pueden variar.

Diremos que este conjunto y las operaciones así definidas: ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}$ son un álgebra de boole, si cumple las siguientes axiomas:

• 1a: La ley asociativa de la suma:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\oplus b)\oplus c=a\oplus (b\oplus c)}$

• 1b: La ley asociativa del producto:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;(a\odot b)\odot c=a\odot (b\odot c)}$

• 2a: Existencia del elemento neutro para la suma:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}$

• 2b: Existencia del elemento neutro para el producto:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}$

• 3a: La ley conmutativa de la suma:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus b=b\oplus a}$

• 3b: La ley conmutativa del producto:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot b=b\odot a}$

• 4a: Ley distributiva de la suma respecto al producto:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus (b\odot c)=(a\oplus b)\odot (a\oplus c)}$

• 4b: Ley distributiva del producto respecto a la suma:

${\displaystyle \forall a,b,c\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot (b\oplus c)=(a\odot b)\oplus (a\odot c)}$

• 5a: Existe elemento complemento para la suma:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \sim a=U}$

• 5b: Existe elemento complemento para el producto:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}};\;\exists \sim a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \sim a=\varnothing }$

Partiendo de los cinco axiomas anteriores, se pueden deducir y demostrar los siguientes teoremas fundamentales:

• 6a: Ley de idempotencia para la suma:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus a=a}$

• 6b: Ley de idempotencia para el producto:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot a=a}$

• 7a: Ley de absorción para la suma:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus U=U}$

• 7b: Ley de absorción para el producto:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot \varnothing =\varnothing }$

• 8a: Ley de identidad para la suma:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\oplus \varnothing =a}$

• 8b: Ley de identidad para el producto:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;a\odot U=a}$

• 9: Ley de involución:

${\displaystyle \forall a\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (\sim a)=a}$

• 10: Ley del complemento:

${\displaystyle \sim U=\varnothing }$

${\displaystyle \sim \varnothing =U}$

• 11: Leyes de De Morgan:

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\oplus b)=\sim a\odot \sim b}$

${\displaystyle \forall a,b\in {\mathfrak {B}}:\;\sim (a\odot b)=\sim a\oplus \sim b}$

Sea: ${\displaystyle ({\mathfrak {B}},\sim ,\oplus ,\odot )}$ un álgebra de Boole, sean a, b dos elementos del conjunto, podremos decir entonces que a antecede a b y lo denotamos:

${\displaystyle a\preceq b}$

si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

1. ${\displaystyle a\oplus b=b}$
2. ${\displaystyle a\odot b=a}$
3. ${\displaystyle \sim a\oplus b=U}$
4. ${\displaystyle a\odot \sim b=\varnothing }$

Estas cuatro condiciones se consideran equivalentes y el cumplimiento de una de ellas implica necesariamente el cumplimiento de las demás. Definiendo un conjunto parcialmente ordenado.

Si se cumple que:

${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\preceq b\;\lor \;b\preceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {comparables}}}$

Para los valores a, b de ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, que cumplen que a antecede a b, o que b antecede a a, se dice que a y b son comparables.

Si se cumple que:

${\displaystyle a,b\in {\mathfrak {B}}\;:\quad a\npreceq b\;\land \;b\npreceq a\quad \longrightarrow \quad a,b\rightarrow {\mathit {no\;comparables}}}$

Para los valores a, b de ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, que cumplen que a no antecede a b, y que b no antecede a a, se dice que a y b son no comparables.