Una función ${\displaystyle y=f(x)}$ es lineal si tiene la forma ${\displaystyle y=mx+n}$, donde ${\displaystyle m,n\in \mathbb {R} }$ y ${\displaystyle m\neq 0}$.

La gráfica de una función lineal es una recta cuyos elementos son:

• ${\displaystyle m}$: pendiente de la recta. Es la inclinación de la recta respecto al eje horizontal
• ${\displaystyle n}$: coeficiente de posición. Es el punto donde la recta corta al eje vertical

Los posibles gráficos para una recta del tipo ${\displaystyle y=mx+n}$ son:

La ecuación de una recta ${\displaystyle y=mx+n}$ se conoce como la forma principal de la recta, mientras que la ecuación de la recta dada por ${\displaystyle ax+by+c=0}$ se conoce como la forma general de la recta.

Para graficar una función lineal de la forma ${\displaystyle y=ax+b}$ se deben analizar su pendiente y el coeficiente de posición.

Escribimos la función en la forma ${\displaystyle y={\frac {p}{q}}x+b}$, y se sigue lo siguiente

• Se dibuja el coeficiente de posición
• Si ${\displaystyle {\frac {p}{q}}>0}$, desde el coeficiente de posición ${\displaystyle b}$ se traslada el punto ${\displaystyle q}$ unidades a la derecha, de manera horizontal, y ${\displaystyle p}$ unidades hacía arriba, de manera vertical.
• Si ${\displaystyle {\frac {p}{q}}<0}$, desde el coeficiente de posición ${\displaystyle b}$ se traslada el punto ${\displaystyle q}$ unidades a la derecha, de manera horizontal, y ${\displaystyle p}$ unidades hacía abajo, de manera vertical.

Queremos graficar la función ${\displaystyle y=-{\frac {2}{3}}x+2}$

Sol:

Para determinar la ecuación de la recta, tenemos dos casos:

Si conocemos dos puntos por donde pasa una recta, digamos que los puntos ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$, la ecuación de la recta que pasa por ellos está dada por

${\displaystyle y-y_{1}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})}$

El número ${\displaystyle m={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}$ es la pendiente de la recta.

Determinar la ecuación de la recta, en sus formas principal y general, que pasa por los puntos ${\displaystyle (3,4),(1,-2)}$.

Sol:

Si conocemos la pendiente de la recta, ${\displaystyle m}$, y un punto en ella, ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, la ecuación de la recta está dada por

${\displaystyle y=m(x-x_{1})+y_{1}}$

Determinar la ecuación de la recta, en sus formas principal y general, con pendiente ${\displaystyle m=-2}$ y que pasa por el punto ${\displaystyle (-1,3)}$.

Sol:

Diremos que dos rectas son paralelas siempre que sus pendientes sean iguales.

Es decir, las rectas ${\displaystyle L_{1}}$ y ${\displaystyle L_{2}}$ son paralelas siempre que sus pendientes ${\displaystyle m_{1}}$ y ${\displaystyle m_{2}}$ sean iguales.

Escribimos ${\displaystyle L_{1}\parallel L_{2}\leftrightarrow m_{1}=m_{2}}$.

Determinar la recta que pasa por el punto ${\displaystyle (2,-1)}$ y es paralela a la recta de ecuación ${\displaystyle x-2y+4=0}$.

Sol:

Diremos que dos rectas son perpendiculares siempre que el producto de sus pendientes sea igual a ${\displaystyle -1}$.

Es decir, las rectas ${\displaystyle L_{1}}$ y ${\displaystyle L_{2}}$ son perpendicualres siempre que el producto de sus pendientes ${\displaystyle m_{1}}$ y ${\displaystyle m_{2}}$ sea igual a ${\displaystyle -1}$.

Escribimos ${\displaystyle L_{1}\perp L_{2}\leftrightarrow m_{1}\cdot m_{2}=-1}$.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ${\displaystyle (0,-1)}$ y que es perpendicular a la recta de ecuación ${\displaystyle -2x+3y-4=0}$.

Sol: