Álgebra Lineal/Escalar por matriz

Sea ${\displaystyle A}$ una matriz cualquiera y ${\displaystyle c}$ un escalar cualquiera el producto entre la matriz ${\displaystyle A}$ y el escalar ${\displaystyle c}$ da como resultado una nueva matriz llamada ${\displaystyle cA}$, la cual es la matriz que se obtiene al multiplicar cada elemento de la matriz ${\displaystyle A}$ por el escalar ${\displaystyle c}$.

Un caso particular es el del producto entre el escalar,-1, y una matriz cualquiera ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle (-1)A}$, el cual da como resultado una matriz representada por ${\displaystyle -A}$ donde ${\displaystyle -A}$ es la matriz opuesta de la matriz ${\displaystyle A}$ original.

${\displaystyle i)\ c(A+B)=cA+cB.\,}$

${\displaystyle ii)\ (a+b)C=aC+bC.\,}$

${\displaystyle iii)\ (ab)C=a(bC)=b(aC).\,}$

${\displaystyle iv)\ 1A=A.\,}$

${\displaystyle v)\ (-1)A=-A.\,}$

La fórmula general para la operación de cA es:

Sea A una matriz cualquiera y c un escalar

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&.&.&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&.&.&a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&.&.&a_{3n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\a_{m1}&a_{m2}&.&.&a_{mn}\\\end{array}}\right],c}$

El producto entre ${\displaystyle A}$ y ${\displaystyle c}$, ${\displaystyle cA}$, da como resultado

${\displaystyle cA=\left[{\begin{array}{ccccc}ca_{11}&ca_{12}&.&.&ca_{1n}\\ca_{21}&ca_{22}&.&.&ca_{2n}\\ca_{31}&ca_{32}&.&.&ca_{3n}\\.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.\\ca_{m1}&ca_{m2}&.&.&ca_{mn}\\\end{array}}\right]}$

Donde el escalar, c, se multiplica por cada uno de los elementos de la matriz ${\displaystyle A}$

Sean

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{cc}-5&6\\1&3\end{array}}\right],c=-1}$

El producto cA es igual a

${\displaystyle cA=-1\left[{\begin{array}{cc}-5&6\\1&3\end{array}}\right]={\begin{bmatrix}-1\times -5&-1\times 6\\-1\times 1&-1\times 3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&-6\\-1&-3\end{bmatrix}}}$

La cual es la opuesta de A

Sean

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{ccc}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{array}}\right],c=2}$

El producto entre c y A ,${\displaystyle cA}$, es igual a

${\displaystyle cA=2\left[{\begin{array}{ccc}\!-4&\,5&\!-5\\\!-5&\,0&\!-5\\\,3&\!-10&\,0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\ 2\times -3&2\times 2&2\times -5\\\ 2\times -1&2\times 0&2\times -2\\\ 2\times 3&2\times -4&2\times 1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}\!-6&\,4&\!-10\\\!-2&\,0&\!-4\\\,6&\!-8&\,2\end{array}}\right]}$

George Nakos, David Joyner: Álgebra Lineal con Aplicaciones . Estados Unidos:Us Naval Academy, 1999. 666 p. ISBN 968-7529-86-5.

 responsable: Jesús David Ramos Rengifo 20082005074

--JesusDavidRamos 23:10 7 mar 2009 (UTC)jesus david ramos rengifo 20082005074