Aritmética/Pre-Algebra/Potenciación y Radicación

Sea ${\displaystyle a}$ un número real y ${\displaystyle n}$ un entero positivo. Se define la potencia ${\displaystyle n}$-ésima de ${\displaystyle a}$ de la forma

${\displaystyle a^{n}=a\cdot a\cdot a\cdots a}$

Es decir, la potencia ${\displaystyle n}$-ésima de ${\displaystyle a}$ es el resultado de multiplicar ${\displaystyle a}$ consigo mismo ${\displaystyle n}$ veces.

En la expresión ${\displaystyle a^{n}}$, ${\displaystyle a}$ se llama base y ${\displaystyle n}$ se llama exponente.

Calcular las siguientes potencias

1. ${\displaystyle 4^{2}=4\cdot 4=16}$
2. ${\displaystyle (-2)^{4}=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=16}$
3. ${\displaystyle (-7)^{3}=(-7)\cdot (-7)\cdot (-7)=-343}$
4. ${\displaystyle (8+6)^{2}=(14)^{2}=196}$
5. ${\displaystyle 8^{2}+6^{2}=64+36=100}$

Notas: por los ejemplos vistos, podemos ver que

a) Si la base está elevada a exponente par, la potencia es siempre positiva.

b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

c) La potenciación no es una operación distributiva sobre la suma o la resta; es decir, en la potenciación se tiene que

${\displaystyle (a\pm b)^{n}\neq a^{b}\pm b^{n}}$

1. Potencia de exponente cero: ${\displaystyle a^{0}=1}$
2. Potencia de exponente entero negativo: ${\displaystyle a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}}$
3. Multiplicación de potencias de igual base: ${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$
4. División de potencias de igual base: ${\displaystyle a^{n}:a^{m}=a^{n-m}}$
5. Potencia de una potencia: ${\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{nm}}$
6. Multiplicación de potencias de igual exponente: ${\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(ab)^{n}}$
7. División de potencias de igual exponente: ${\displaystyle a^{n}:b^{n}=(a:b)^{n}}$

Resolver los siguientes problemas de potencias

1) Para ${\displaystyle x=-2}$, hallar el valor de ${\displaystyle x^{5}-3x^{2}+5x-7}$.

Sol:

2) ${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}}$

Sol: tenemos que

${\displaystyle \left({\frac {1}{3}}\right)^{2}\cdot \left({\frac {4}{3}}\right)^{-2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot \left({\frac {3}{4}}\right)^{2}={\frac {1}{3^{2}}}\cdot {\frac {3^{2}}{4^{2}}}={\frac {1}{4^{2}}}={\frac {1}{16}}}$

3) ${\displaystyle \left({\frac {27}{20}}\right)^{4}:\left({\frac {9}{4}}\right)^{4}}$

Sol:

4) ${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}}$

Sol: tenemos que

${\displaystyle \left(2^{\frac {1}{2}}\cdot 7^{\frac {1}{3}}\right)^{6}=\left(2^{\frac {1}{2}}\right)^{6}\left(7^{\frac {1}{2}}\right)^{6}=2^{3}\cdot 7^{3}=8\cdot 343=2.744}$

Para ${\displaystyle n}$ natural, ${\displaystyle a,b}$ reales, diremos que la raíz ${\displaystyle n}$-ésima de ${\displaystyle a}$ es ${\displaystyle b}$ siempre que

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=b\leftrightarrow a=b^{n}}$

donde ${\displaystyle n}$ es el índice, ${\displaystyle a}$ la cantidad subradical, y ${\displaystyle b}$ la raíz.

1. Calcular ${\displaystyle {\sqrt {81}}}$

Sol: Acá, como el índice es 2, buscamos un número que elevado a 2 de como resultado 81. Claramente, tal número es 9. Luego, ${\displaystyle {\sqrt {81}}=9}$

1. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}}$

Sol: En esta ocasión el índice es 3; luego, buscamos un número que elevado a 3 de como resultado 27. Tal número es 3. Luego, ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}$

1. ${\displaystyle {\sqrt {64+36}}}$

Sol: ${\displaystyle {\sqrt {64+36}}={\sqrt {100}}=10}$

1. ${\displaystyle {\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}}$

Sol: ${\displaystyle {\sqrt {64}}+{\sqrt {36}}=6+8=14}$

1. ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}$

Sol: buscamos un número que multiplicado 3 veces de como resultado ${\displaystyle -8}$. Ese número debe ser negativo, pues la potencia impar de una base negativa, es negativa. Luego, el número buscado es ${\displaystyle -2}$. Así, tenemos que ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}$

Nota: por los ejemplos vistos, podemos ver que, en general, ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b}}\neq {\sqrt[{n}]{a}}+{\sqrt[{n}]{b}}}$.

1. ${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}$
2. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
3. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a:b}}={\sqrt[{n}]{a}}:{\sqrt[{n}]{b}}}$
4. ${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}}$
5. ${\displaystyle a{\sqrt[{n}]{b}}={\sqrt[{n}]{a^{n}b}}}$
6. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}={\sqrt[{nm}]{a}}}$
7. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}$
8. ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a}}={\sqrt[{n}]{\frac {1}{a}}}}$

Resolver las siguientes expresiones con raíces

1) ${\displaystyle (5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})}$

Sol: tenemos que

${\displaystyle (5{\sqrt {2}}-2{\sqrt {3}})(3{\sqrt {2}}+4{\sqrt {3}})=15{\sqrt {4}}+20{\sqrt {6}}-6{\sqrt {6}}-8{\sqrt {9}}=15\cdot 2+14{\sqrt {6}}-8\cdot 3=6+14{\sqrt {6}}}$

2) ${\displaystyle 3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}}$

Sol: Vemos que las raíces no son exactas. Luego, tenemos que descomponer éstas en números que tengan raíz exacta, para después separar y al final reducir términos semejantes. Tenemos

${\displaystyle 3{\sqrt {80}}-6{\sqrt {98}}-2{\sqrt {45}}+4{\sqrt {72}}=3{\sqrt {16\cdot 5}}-6{\sqrt {49\cdot 2}}-2{\sqrt {9\cdot 5}}+4{\sqrt {36\cdot 2}}=12{\sqrt {5}}-42{\sqrt {2}}-6{\sqrt {5}}+24{\sqrt {2}}=6{\sqrt {5}}-18{\sqrt {2}}}$

3) ${\displaystyle {\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}}$

Sol: Usando la propiedad 5) dos veces, empezando por la raíz interior, tenemos que

${\displaystyle {\sqrt {x{\sqrt {x{\sqrt {x}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt {\sqrt {x^{3}}}}}}={\sqrt {x{\sqrt[{4}]{x^{3}}}}}={\sqrt {\sqrt[{4}]{x^{7}}}}={\sqrt[{8}]{x^{7}}}}$

Racionalizar una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador es racional.

Se sigue la siguiente relación:

${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}={\frac {a}{\sqrt[{n}]{b^{m}}}}\cdot {\frac {\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{\sqrt[{n}]{b^{n}}}}={\frac {a{\sqrt[{n}]{b^{n-m}}}}{b}}}$

1. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot {\frac {\sqrt {3}}{\sqrt {3}}}={\frac {\sqrt {3}}{3}}}$

1. ${\displaystyle {\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}={\frac {3}{\sqrt[{4}]{9a}}}\cdot {\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}={\frac {3{\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}}{9a}}={\frac {\sqrt[{4}]{(9a)^{3}}}{3a}}}$

Se sigue la siguiente relación:

${\displaystyle {\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}={\frac {a}{{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}}}\cdot {\frac {{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}{{\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}}}={\frac {a\left({\sqrt {b}}-{\sqrt {c}}\right)}{b-c}}}$

1. ${\displaystyle {\frac {3-{\sqrt {2}}}{1+{\sqrt {2}}}}}$

Sol:

Revisar y desarrollar la siguiente lista de Ejercicios Propuestos de Potencias y Raíces.