Ecuación cuadrática/Completación de cuadrados

Este método se basa en el proceso de transformar la ecuación cuadrática estándar ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$

En la formas

${\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}$ o ${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$ Donde a,b son constantes

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	${\displaystyle P(x)=x^{2}+bx+c}$	${\displaystyle x^{2}+10x+28}$
Sumando y restando el cuadrado del cociente (la división/fracción), del coeficiente de x entre 2	${\displaystyle P(x)=x^{2}+bx{\color {Red}+\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}+c}$	${\displaystyle x^{2}+10x{\color {Red}+\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {10}{2}}\right)^{2}}+28}$
Agrupando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	${\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x^{2}+bx+{\frac {b^{2}}{2^{2}}}\right)}-{\frac {b^{2}}{2^{2}}}+c}$	${\displaystyle {\color {Red}\left(x^{2}+10x+25\right)}-25+28}$
Factorizando (reduciendo) este trinomio a un binomio al cuadrado, el cual se obtuvo: (1) extrayendo la raíz cuadrada del primer término del trinomio (${\displaystyle \surd x^{2}=x}$), que será el término izquierdo del binomio; (2) extrayendo la raíz cuadrada del tercer término del trinomio (${\displaystyle \surd ({\frac {b^{2}}{2^{2}}})={\frac {\surd b^{2}}{\surd 2^{2}}}={\frac {b}{2}}}$), que será el término derecho del binomio; (3) usando el signo del segundo término del trinomio (${\displaystyle +bx}$) como el signo que separa los términos del nuevo binomio.	${\displaystyle P(x)={\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}$	${\displaystyle {\color {Red}\left(x+5\right)^{2}}-3}$

Observación: con respecto a la expresión resultante ${\displaystyle {\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}}-{\frac {b^{2}}{4}}+c}$ puede continuarse simplificado/reduciendo. Un método es elevando al cuadrado ambos miembros, lo cual generará dos resultados, debido a la presencia de una raíz de índice par (en este caso cuadrada).

Así,  ${\displaystyle x^{2}+bx+c=\left(x+h\right)^{2}+k=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4}}}$, donde ${\displaystyle h={\frac {b}{2}}}$ y ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}$.

Descripción	Procedimiento Simbólico	Ejemplo
Dado un polinomio de la forma	${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$	${\displaystyle 3x^{2}+24x+40}$
Sacando a a como factor común, de los términos con x	${\displaystyle {\color {Red}a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)}+c}$	${\displaystyle {\color {Red}3\left(x^{2}+8x\right)}+40}$
Sumando y restando el cuadrado del cociente, del coeficiente de x entre 2	${\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x{\color {Red}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}\right)+c}$	${\displaystyle 3\left(x^{2}+8x{\color {Red}+16-16}\right)+40}$
Acomodando términos, se obtendrá un trinomio cuadrado perfecto	${\displaystyle a\left({\color {Red}x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)+c}$	${\displaystyle 3\left({\color {Red}x^{2}+8x+16}-16\right)+40}$
Multiplicamos por el factor común a, al término que acabamos de restar, ${\displaystyle -\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}}$, para sacarlo del paréntesis	${\displaystyle a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right){\color {Red}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}}+c}$	${\displaystyle 3\left(x^{2}+8x+16\right){\color {Red}-48}+40}$
Quedando dentro del paréntesis el trinomio cuadrado perfecto	${\displaystyle a{\color {Red}\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}$	${\displaystyle 3{\color {Red}\left(x^{2}+8x+16\right)}-48+40}$
Reduciendo este trinomio a un binomio al cuadrado (con los términos x y el coeficiente de x dividido entre 2).	${\displaystyle a{\color {Red}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}}-{\frac {ab^{2}}{4a^{2}}}+c}$	${\displaystyle 3{\color {Red}\left(x+4\right)^{2}}-48+40}$
Simplificando	${\displaystyle a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$	${\displaystyle 3\left(x+4\right)^{2}-8}$

Así,     ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+h\right)^{2}+k}$

donde     ${\displaystyle h={\frac {b}{2a}}}$     y     ${\displaystyle k=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}$

${\displaystyle 4x^{2}+3x-2=0}$

1.

${\displaystyle 4x^{2}+3x=2}$

2.

${\displaystyle x^{2}+{\frac {3x}{4}}={\frac {1}{2}}}$

3.

${\displaystyle ({\frac {3}{\frac {4}{2}}})={\frac {3}{8}}}$