Física/Cinemática/Movimiento Circular

Una partícula P se mueve en una circunferencia. Colocamos un eje de coordenadas XY y en el origen O del sistema de coordenadas en el centro de la circunferencia.

Entonces es

${\displaystyle {\overrightarrow {r}}=x_{r}{\overrightarrow {i}}+y_{r}{\overrightarrow {j}}=\left({r\cos \varphi }\right)\,{\overrightarrow {i}}+\left({r\sin \varphi }\right){\overrightarrow {j}}\,.}$

Análogo a la velocidad y a la aceleración podemos definir la velocidad angular ω así

${\displaystyle \omega =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}}\,,}$

y a la aceleración angular α

${\displaystyle \alpha =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta \omega }{\Delta t}}={\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} t}}={\frac {\operatorname {d} ^{2}\varphi }{\operatorname {d} t^{2}}}\,.}$

Cuando t = 0 es también φ = 0, entonces es

${\displaystyle \varphi \left(t\right)=\int _{0}^{t}{\omega \,\operatorname {d} t}=\int _{0}^{t}{\left[{\int _{0}^{t}{\alpha \,\operatorname {d} t}}\right]}\operatorname {d} t\,.}$

Un movimiento circular con velocidad angular constante se lo llama uniforme. Entonces

${\displaystyle \varphi (t)=\varphi (0)+\omega t\quad y\;\,para\quad \varphi (0)=0\quad \Rightarrow \quad \varphi (t)=\omega \,t.}$

La ecuación del vector posición es

${\displaystyle {\overrightarrow {r}}=r\left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}+r\left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}\,.}$

Con esto nos da la velocidad

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}=-r\omega \left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}+r\omega \left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}}$

y

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}=r\omega {\sqrt {\sin ^{2}\omega t+\cos ^{2}\omega t}}=r\omega \,.}$

Efectuando el producto escalar entre los vectores r y v obtenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {r}}\,\cdot {\overrightarrow {v}}&=r\left({\cos \omega \,t}\right)\left[-r\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\right]+r\left({\sin \omega \,t}\right)r\omega \left({\cos \omega \,t}\right)\\&=-r^{2}\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\left({\cos \omega \,t}\right)+r^{2}\omega \left({\sin \omega \,t}\right)\left({\cos \omega \,t}\right)\\&=0\end{aligned}}}$

Con lo cual resulta que los vectores r y v son perpendiculares. Para la aceleración tenemos que

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}=-\,r\omega ^{2}\left({\cos \omega \,t}\right){\overrightarrow {i}}-r\omega ^{2}\left({\sin \omega \,t}\right){\overrightarrow {j}}}$

y así

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=-\,\omega ^{2}{\overrightarrow {r}}\quad \Rightarrow \quad a=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}\,.}$

La aceleración esta dirigida hacia O (aceleracion centripeta), y su modulo es constante.

Aqui la aceleración angular α es constante y también ω(0) = 0

${\displaystyle \omega \left(t\right)=\alpha \,t=\left({\frac {\operatorname {d} \varphi }{\operatorname {d} t}}\right)_{t}.}$

También, cuando φ(0)=0, así para el angulo de rotación

${\displaystyle \varphi \left(t\right)=\int _{0}^{t}{\omega \,\operatorname {d} t}=\int _{0}^{t}{\alpha \,t}\,\operatorname {d} t={\frac {\alpha }{2}}t^{2}.}$

Así tenemos también que

${\displaystyle {\overrightarrow {r}}=r\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}\,t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+r\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}\,t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}\,}$

${\displaystyle {\overrightarrow {v}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {r}}}{\operatorname {d} t}}=r\alpha \,t\left[{-\left({\sin \,{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]=r\omega \left[{-\left({\sin \,{\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]}$

y

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}={\frac {\operatorname {d} {\overrightarrow {v}}}{\operatorname {d} t}}=r\alpha \left[{-\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}+\left({\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right]+}$

${\displaystyle +\,r\alpha ^{2}t^{2}\left[{\left({-\cos {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {i}}-\left({\sin {\frac {\alpha }{2}}t^{2}}\right){\overrightarrow {j}}}\right].}$

o

${\displaystyle {\overrightarrow {a}}=\left[{-r\alpha \left({\sin \varphi }\right)-r\omega ^{2}\left({\cos \varphi }\right)}\right]{\overrightarrow {i}}+}$

${\displaystyle +\left[{r\alpha \left({\cos \varphi }\right)-r\omega ^{2}\left({\sin \varphi }\right)}\right]{\overrightarrow {j}}.}$

Así, podemos deducir que la componente radial de la aceleracion (y su dirección) es

${\displaystyle \,a_{rad}=r\omega ^{2}}$

y su componente tangencial es

${\displaystyle \,a_{tan}=r\alpha }$

A veces es muy útil ver a la velocidad angular como medida de la dirección y representarlo a través de un en el eje de