Matemáticas/Álgebra Abstracta/Anillos/Divisibilidad y Polinomios

Demostración: Sea ${\displaystyle I}$ un ideal de ${\displaystyle k[X].}$ Si ${\displaystyle I=\{0\},}$ ${\displaystyle I=<0>.}$ Sea ${\displaystyle I}$ un ideal no nulo, por lo que habrá un polinomio no nulo en ${\displaystyle I.}$ Seleccionemos ${\displaystyle g\neq 0}$ en ${\displaystyle I}$ tal que su grado sea menor o igual a los grados de los otros polinomios no nulos en ${\displaystyle I.}$ Cuando el grado de ${\displaystyle g}$ es cero, se tiene que ${\displaystyle g=a}$ donde ${\displaystyle a}$ es un elemento de ${\displaystyle k[X],}$ por lo que tiene recíproco. Luego ${\displaystyle a^{-1}a=1}$ es un elemento de ${\displaystyle I}$ y ${\displaystyle I=<1>.}$ Supongamos que el grado de ${\displaystyle g}$ es positivo. Sea ${\displaystyle f}$ cualquier polinomio en ${\displaystyle I.}$ Por el algoritmo de la división, hay polinomios ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle r}$ con ${\displaystyle f=qg+r,}$ con ${\displaystyle r}$ nulo o con ${\displaystyle {\text{gr}}(r)<{\text{gr}}(g).}$ Se tiene entonces que ${\displaystyle r=f-qg,}$ por lo que ${\displaystyle r}$ está en ${\displaystyle I.}$ Como el grado de ${\displaystyle g}$ es minimal entre los polinomios no nulos de ${\displaystyle I,}$ concluimos que ${\displaystyle r=0.}$ Luego, cada elemento de ${\displaystyle I}$ es un múltiplo de ${\displaystyle I,}$ o sea que ${\displaystyle I}$ está generado por ${\displaystyle g.}$

Como cada polinomio con coeficientes en un cuerpo tiene asociado un polinomio mónico, podemos siempre escoger como generador de un ideal en ${\displaystyle k[X]}$ a un polinomio mónico.

Ejemplo.

La restricción de que los coeficientes pertenezcan a un cuerpo es necesaria. Veremos que ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ no es un DIP.

Consideremos el ideal ${\displaystyle J}$ generado por el 2 y la indeterminada ${\displaystyle X.}$ Los elementos de ${\displaystyle J}$ son todos de la forma ${\displaystyle 2a+bX.}$ No hay un polinomio ${\displaystyle f}$ que divida simultáneamente a 2 y a ${\displaystyle X,}$ además 1 no está en ${\displaystyle J.}$ Lo que muestra que ${\displaystyle J}$ es un ideal propio que no es principal.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ dos polinomios. Si uno de ellos es nulo y el otro no, el polinomio no nulo es el mcd de ellos. Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ polinomios no nulos. Consideremos el ideal ${\displaystyle J}$ generado por esos polinomios, ${\displaystyle J=\{xf+yg:x,y\in k[X]\}.}$ Como ${\displaystyle k[X]}$ es DIP, hay un polinomio ${\displaystyle d}$ de grado minimal que genera a ${\displaystyle J.}$ Luego, ${\displaystyle d=x_{0}f+y_{0}g}$ para un par de polinomios ${\displaystyle x_{0},y_{0}.}$ Sigue de la relación anterior que cualquier divisor común de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ es un divisor de ${\displaystyle d.}$ Además, claramente, ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ están en ${\displaystyle J,}$ por lo que son múltiplos de ${\displaystyle d.}$ Luego, ${\displaystyle d}$ es el MCD buscado. Hemos probado la siguiente proposición.

Proposición 3. (MCD y Bezout para polinomios) Sean ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ polinomios, no ambos nulos, en ${\displaystyle k[X]}$ con ${\displaystyle k}$ cuerpo. Entonces, el ideal generado por ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ tiene como generador a un máximo común divisor de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g,}$ que puede ser seleccionado mónico. Si ${\displaystyle d}$ es un ${\displaystyle {\text{mcd}}\{f,g\},}$ se cumple la identidad de Bezout, o sea, hay polinomios ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ tales que

Como asociados de un mcd son mcd, siempre podemos escoger como EL mcd, al polinomio mónico asociado a un mcd.

Hay un algoritmo, conocido como algoritmo de Euclides para obtener el MCD de dos polinomios.

El procedimiento (algoritmo) está basado en el siguiente resultado.

Proposición 4.

Demostración: Sean ${\displaystyle \alpha ={\text{mcd}}\{f,g\}}$ y ${\displaystyle \beta ={\text{mcd}}\{g,r\}.}$ Consideremos la relación ${\displaystyle f=qg+r.}$ Sigue de la relación que cualquier divisor común de ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle r}$ es un divisor de ${\displaystyle f,}$ por lo que será un divisor común de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$; aplicando lo anterior a ${\displaystyle \beta ,}$ tenemos que ${\displaystyle \beta }$ divide a ${\displaystyle \alpha .}$ Igualmente, la relación indicada implica que cualquier divisor común de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g,}$ es un divisor común de ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle r}$; lo que implicará que ${\displaystyle \alpha }$ divide a ${\displaystyle \beta .}$ Por lo que ${\displaystyle \alpha }$ y ${\displaystyle \beta }$ son asociados, luego, si son mónicos, son iguales.

Lo anterior sugiere un procedimiento para hallar el mcd de dos polinomios no nulos.

1. Dividir ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle g}$ para obtener cociente ${\displaystyle q}$ y residuo ${\displaystyle r,}$ Si ${\displaystyle r=0,}$ tenemos que ${\displaystyle g}$ es el MCD buscado, y se concluye la búsqueda. En caso contrario, ir al siguiente paso.
2. Continuar dividiendo divisor y residuo obtenidos en el paso anterior, repitiendo el proceso cuantas veces sea necesario hasta obtener un residuo nulo. El último divisor no nulo es el mcd buscado

Notemos que como el residuo tiene un grado menor que el divisor, el proceso acaba en un número finito de pasos. El procedimiento se puede adoptar para generar los polinomios de la identidad de Bezout.

Sean ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ dos polinomios no nulos. Cuando uno de ellos tiene grado cero, el otro es el MCM de los dos. Supongamos que los dos polinomios tienen grado positivo. Sean ${\displaystyle I_{1}=\langle f\rangle ,}$ ${\displaystyle I_{2}=\langle g\rangle ,}$ ${\displaystyle J=I_{1}\cap I_{2}.}$ Como ${\displaystyle k[X]}$ es un dominio de ideales principales, hay un polinomio mónico tal que ${\displaystyle J=\langle m\rangle .}$ Como ${\displaystyle J}$ está contenido en ${\displaystyle I_{1}}$ y en ${\displaystyle I_{2}}$ resulta que ${\displaystyle m}$ es un múltiplo común de ${\displaystyle I_{1}}$ e ${\displaystyle I_{2}.}$ Además, cualquier múltiplo común de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ estará tanto en ${\displaystyle I_{1}}$ como en ${\displaystyle I_{2},}$ por lo que estará en ${\displaystyle J,}$ lo que implica que será un múltiplo de ${\displaystyle m.}$ Luego, ${\displaystyle m={\text{mcm}}\{f,g\}.}$

Recordemos las nociones de elementos irreducibles y primos en un dominio, pero aplicadas a polinomios.

• Un polinomio ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle A[X]}$ es irreducible (en ${\displaystyle A[X]}$), ssi, ${\displaystyle f}$ no es nulo ni una unidad y ${\displaystyle f=gh}$ implica que ${\displaystyle g}$ o ${\displaystyle h}$ es una unidad.
• Un polinomio ${\displaystyle f}$ de ${\displaystyle A[X]}$ es primo (en ${\displaystyle A[X]}$), ssi, no es nulo ni es una unidad y cuando ${\displaystyle f|gh}$ entonces ${\displaystyle f|g}$ o ${\displaystyle f|h.}$

Notemos que en ${\displaystyle k[X],}$ ${\displaystyle k}$ cuerpo, cualquier polinomio ${\displaystyle f}$ de grado 1 es irreducible. Sin embargo, lo anterior no es cierto, inclusive sobre un dominio de integridad como los Enteros, como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea ${\displaystyle f=2X-6=2(X-3).}$ El polinomio ${\displaystyle (X-3)}$ es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X],}$ por lo que ${\displaystyle f}$ es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X],}$ ya que ${\displaystyle 2}$ es un unidad en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X]}$ o sea que ${\displaystyle f}$ está asociado con un irreducible. Sin embargo, ${\displaystyle f}$ no es irreducible en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X],}$ ya que 2 es un irreducible, por lo que ${\displaystyle f}$ es el producto de dos irreducibles de ${\displaystyle \mathbb {Z} [X].}$

Sabemos de un capítulo anterior que los elementos primos de un dominio son irreducibles. Veremos que para los polinomios sobre un cuerpo, los irreducibles son primos, por lo que no habrá diferencias entre esas dos clases de polinomios.

Proposición 5. Sea ${\displaystyle k}$ un cuerpo. Los polinomios irreducibles de ${\displaystyle k[X]}$ son primos en ${\displaystyle k[X].}$

Demostración: Sea ${\displaystyle f}$ un polinomio irreducible y supongamos que ${\displaystyle f|ab.}$ Debemos probar que ${\displaystyle f|a}$ o ${\displaystyle f|b.}$ Supongamos que ${\displaystyle f\nmid b.}$ Entonces, ${\displaystyle {\text{mcd}}\{f,b\}=1.}$ Sigue de la identidad de Bezout que hay polinomios ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle y}$ tales que ${\displaystyle xf+yb=1.}$ Multiplicando por ${\displaystyle a,}$ tenemos que ${\displaystyle axf+yab=a.}$ Claramente, ${\displaystyle f}$ es un divisor del lado izquierdo en la última relación, ya que ${\displaystyle f|ab.}$ Luego, ${\displaystyle f}$ es un divisor de ${\displaystyle a,}$ lo que prueba que ${\displaystyle f}$ es primo.

Sea ${\displaystyle f}$ un polinomio irreducible de ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle k}$ con grado positivo y sea ${\displaystyle A=k[X]/<f>.}$ Sea ${\displaystyle g}$ tal que ${\displaystyle [g]\neq [0]}$ en ${\displaystyle A.}$ Esto significa que ${\displaystyle g}$ no está en ${\displaystyle <f>,}$ o sea que ${\displaystyle {\text{mcd}}(g,f)=1.}$ Por la identidad de Bezout, hay polinomios ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b}$ tales que

Pasando al cociente, tenemos que ${\displaystyle [a][g]+[b][f]=[1]}$ y como ${\displaystyle [f]=[0],}$ concluimos que ${\displaystyle [a][g]=[1].}$ Es decir que ${\displaystyle [g]}$ es invertible. Hemos probado, así, parte de la siguiente proposición.

Proposición 6. Sea ${\displaystyle f}$ un polinomio irreducible de ${\displaystyle k[X]}$ con grado positivo mayor que 1. Entonces, ${\displaystyle k[X]/<f>}$ es un cuerpo que contiene al cuerpo ${\displaystyle k}$ y a un cero de ${\displaystyle f.}$

Demostración: Los razonamientos anteriores al enunciado de la proposición, muestran que ${\displaystyle k[X]/<f>}$ es un cuerpo. Suponemos que ${\displaystyle k\subset k[X]}$ mediante la identificación de elementos de ${\displaystyle k}$ con polinomios constantes (polinomios de grado cero o el polinomio nulo) Sea ${\displaystyle \varphi }$ la función que envía ${\displaystyle \alpha }$ de ${\displaystyle k}$ en su clase ${\displaystyle [\alpha ].}$ ${\displaystyle \varphi }$ es la restricción a ${\displaystyle k}$ del supramorfismo canónico de ${\displaystyle k[X]}$ en ${\displaystyle k[X]/<f>,}$ por lo que es un homomorfismo de anillos con identidad. Si ${\displaystyle [\alpha ]=[\beta ],}$ se tiene que ${\displaystyle [\alpha -\beta ]=[0],}$ por lo que ${\displaystyle f|(\alpha -\beta ).}$ Por razones de grado, tenemos que ${\displaystyle \alpha -\beta =0,}$ lo que implica que ${\displaystyle \varphi }$ es inyectiva, o sea que se trata de un monomorfismo que es, por lo tanto, un isomorfismo sobre su imagen. Usando el isomorfismo para identificar ${\displaystyle k}$ con su imagen, tenemos que ${\displaystyle k\subset k[X]/<f>,}$ por lo que ${\displaystyle k[X]/<f>}$ es un cuerpo que contiene a ${\displaystyle k.}$ Sea ${\displaystyle \theta =[X]}$ en ${\displaystyle k[X]/<f>.}$ Entonces, si ${\displaystyle f=\sum _{i}a_{i}X^{i},}$ pasando al cociente, se tiene que ${\displaystyle [0]=[f]=\sum _{i}[a_{i}][X]^{i}=\sum _{i}a_{i}\theta ^{i};}$

lo que prueba que ${\displaystyle \theta }$ es un cero de ${\displaystyle f.}$

El objetivo de esta sección es probar un teorema análogo al teorema fundamental de la Aritmética: "Cada entero positivo mayor que 1 es un producto de potencias de primos, tal que los primos y sus exponentes son únicos, excepto por el orden de aparición".

El siguiente resultado será necesario para el teorema deseado.
Lema B. Sea ${\displaystyle k}$ un cuerpo. Todo polinomio ${\displaystyle f\in k[X]}$ de grado positivo tiene un factor irreducible.

Demostración: Los polinomios de grado 1 son claramente irreducibles, por lo que el teorema se cumple para ellos, ya que cada polinomio es un divisor de si mismo. Supongamos el resultado cierto para polinomios de grado a lo más ${\displaystyle s,}$ ${\displaystyle s\geq 1.}$ Sea ${\displaystyle f}$ un polinomio de grado ${\displaystyle (s+1).}$ Si ${\displaystyle f}$ es irreducible, no hay nada más que probar. Si ${\displaystyle f}$ no es irreducible, entonces ${\displaystyle f=gh,}$ donde los grados de ${\displaystyle g}$ y de ${\displaystyle h}$ son inferiores al grado de ${\displaystyle f,}$ pero mayores que 0. Por inducción, ${\displaystyle g}$ tiene un factor irreducible, que es también un factor de ${\displaystyle f.}$

Como cualquier asociado del factor de un polinomio es también un factor del polinomio, por lo que podemos escoger factores irreducibles que sean mónicos.

Teorema.(Factorización única).

Sea ${\displaystyle k}$ un cuerpo. Todo polinomio ${\displaystyle f\in k[X]}$ de grado positivo es el producto de una unidad por el producto único de potencias de irreducibles mónicos, diferentes entre ellos. La unicidad dice que los irreducibles que allí aparecen son únicos, así como las potencias a las que aparecen están unívocamente determinadas por ${\displaystyle f,}$ excepto por el orden de aparición.

Demostración: (Existencia) Si ${\displaystyle f}$ es irreducible, no hay nada más que probar. En particular, polinomios de grado 1, ${\displaystyle aX+b=a(X+b/a).}$ Supongamos que la existencia fuera válida para polinomios de grado a lo más ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle k\geq 1.}$ Sea ${\displaystyle f}$ un polinomio de grado ${\displaystyle (k+1).}$ Si ${\displaystyle f}$ es irreducible, ${\displaystyle f}$ es el producto de su coeficiente líder (unidad) por su asociado mónico. Si ${\displaystyle f}$ es irreducible, entonces ${\displaystyle f=gh}$ donde ${\displaystyle 0<{\text{gr}}(g),{\text{gr}}(h)<{\text{gr}}(f).}$ Por inducción, ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$ son productos de una unidad por potencias de irreducibles mónicos, luego su producto, ${\displaystyle f}$ también lo será, después de multiplicar las unidades y reagrupar potencias de irreducibles iguales. (Unicidad) Supongamos que se tuviera que dos descomposiciones de un mismo polinomio. Digamos que

${\displaystyle \alpha p_{1}^{m_{1}}\dots p_{r}^{m_{r}}=\beta q_{1}^{n_{1}}\dots q_{s}^{n_{s}}.}$

(*)




Consideremos al irreducible ${\displaystyle p_{1}.}$ Como irreducibles son primos, ${\displaystyle p_{1}}$ es primo; por lo que es un divisor de ${\displaystyle \beta q_{1}^{n_{1}}\dots q_{s}^{n_{s}}.}$ Como eso implica que ${\displaystyle p_{1}}$ es un divisor de al menos uno de los factores de ese producto, se tiene que ${\displaystyle p_{1}}$ divide a uno de los ${\displaystyle q_{j}.}$ Sin perdida de generalidad, podemos suponer que ${\displaystyle p_{1}}$ divide a ${\displaystyle q_{1}}$ (si no, cambiamos la notación). Luego, ${\displaystyle p_{1}r=q_{1},}$ para algún polinomio ${\displaystyle r,}$ pero como ${\displaystyle q_{1}}$ es irreducible, se tiene que ${\displaystyle r}$ debe ser una unidad. Luego, ambos polinomios tienen igual grado y como son mónicos, la unidad debe ser la identidad 1. Lo que implica que ${\displaystyle q_{1}=p_{1}.}$ Cancelando factores iguales a ${\displaystyle p_{1}}$ en (*), se cancelarán todas las potencias de ${\displaystyle p_{1}}$ y ${\displaystyle q_{1}.}$ Ya que si sobrará alguno de ellos en un lado, sería divisible por alguno de los irreducible del otro lado, pero esto implicaría que son iguales, lo que no puede ser. Si ${\displaystyle r=s=1,}$ el resultado estaría probado. En caso contrario, procedemos como arriba, para ir eliminando factores iguales en ambos lados, hasta quedar ${\displaystyle \alpha =\beta .}$

1. Hallar el cociente y el residuo de la división del primer polinomio por el segundo en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X].}$
   1. ${\displaystyle X^{3}-7X-1,}$ ${\displaystyle X-2.}$
   2. ${\displaystyle X^{4}-2X^{2}-1,}$ ${\displaystyle X^{2}+3X-1.}$
   3. ${\displaystyle X^{2}+X+1,}$ 2.
   4. ${\displaystyle X^{6}-1,}$ ${\displaystyle X^{3}-1.}$
   5. ${\displaystyle X^{4}+6X^{3}+10X^{2}+3X-6,}$ ${\displaystyle X^{2}-3X.}$
2. Hallar ${\displaystyle m}$ y ${\displaystyle p}$ de modo que ${\displaystyle X^{3}+pX+q}$ sea divisible por ${\displaystyle X^{2}+mx-1.}$
3. Efectuar la división de ${\displaystyle X^{m}-a^{m}}$ por ${\displaystyle X^{n}-a^{n}}$ y determinar condiciones para que el residuo sea nulo.
4. Para cada uno de los siguientes pares de polinomios, indicar si el primer polinomio tiene como factor al segundo. En caso contrario, hallar un mcd de ambos polinomios.
   1. ${\displaystyle X^{2}-5X+6,}$ ${\displaystyle X-2.}$
   2. ${\displaystyle X^{3}-10X^{2}+31X-30,}$ ${\displaystyle X^{2}-5X+6.}$
   3. ${\displaystyle X^{3}+2X^{2}-3x-10,}$ ${\displaystyle X^{3}-X^{2}-X-2.}$
5. Hallar el MCD y MCM de los conjuntos siguientes de polinomios en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X].}$
   1. ${\displaystyle X^{2}-4,}$ ${\displaystyle X^{2}+X-6.}$
   2. ${\displaystyle X^{3}-2x^{2}-5X+6,}$ ${\displaystyle 2X^{3}-5X^{2}-6X+9.}$
   3. ${\displaystyle 2X^{5}+2X^{4}-2X^{2}-2X,}$ ${\displaystyle 2X^{2}-5X-3.}$
   4. ${\displaystyle X^{99}-1,}$ ${\displaystyle X^{45}-1.}$
6. Hallar números complejos ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle b,}$ ${\displaystyle c}$ de manera que ${\displaystyle X^{5}+aX^{2}+b}$ sea divisible por ${\displaystyle X^{3}+X^{2}+cX+1.}$
7. Hallar el residuo de la división del polinomio ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle (X-a),}$ por ${\displaystyle (X-b)}$ y por ${\displaystyle (X-a)(X-b).}$
8. Los residuos de la división de un polinomio ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle X-1,}$ ${\displaystyle X-2}$ y ${\displaystyle X-3}$ son respectivamente 3, 7 y 13, Hallar el residuo de la división de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle (X-1)(X-2)(X-3).}$
9. Sea ${\displaystyle n}$ un entero positivo,
   1. Probar que cada polinomio ${\displaystyle P}$ puede expresarse de manera única como ${\displaystyle P(X)=P_{0}(X^{n})+XP_{1}(X^{n})+\cdots +X^{n-1}P_{n-1}(X^{n}).}$
   2. Probar que el residuo de la división de cualquier polinomio ${\displaystyle P}$ por ${\displaystyle X^{n}-a}$ es igual a: ${\displaystyle R(X)=P_{0}(a)+P_{1}(a)X+\cdots +P_{n-1}(a)X^{n-1}.}$

   
   

10. Probar la validez del algoritmo de Euclides (por divisiones sucesivas) para computar un mcd de dos polinomios. Para hallar el MCD de ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ (suponiendo grado de ${\displaystyle f}$ mayor o igual que el grado de ${\displaystyle g}$), Se procede de la siguiente manera: Coloquemos ${\displaystyle u=f}$ y ${\displaystyle v=g.}$
    [(i)]
    1. Se divide ${\displaystyle u}$ por ${\displaystyle v}$ y se halla el cociente y el residuo ${\displaystyle r.}$
    2. Si el residuo es 0, ${\displaystyle v}$ es el máximo común divisor. En caso contrario, se repite el procedimiento con ${\displaystyle u=v}$ y ${\displaystyle v=r.}$

       Cuando se computa a mano, puede resultar conveniente reemplazar en algunos de los pasos, un polinomio por un asociado.
    

11. Hallar el máximo común divisor de los siguientes conjuntos de polinomios de ${\displaystyle \mathbb {Q} [X].}$
    1. ${\displaystyle 16X^{3}+36x^{2}-12X-18}$ y ${\displaystyle 8X^{2}-2X-3.}$
    2. ${\displaystyle 3X^{3}-13X^{2}+5X-4}$ y ${\displaystyle 2X^{2}-7X-4.}$ (Para evitar fracciones en la primera división, multiplicar el primer polinomio por 2, obteniendo un asociado conveniente.)
    3. ${\displaystyle aX^{4}+3aX^{3}-2aX^{2}+6aX-8a}$ y ${\displaystyle X^{4}+4X^{3}-X^{2}-6X.}$
    4. ${\displaystyle X^{3}-2X^{2}-5X+6,}$ ${\displaystyle 2X^{3}-5X^{2}-6X+9}$ y ${\displaystyle 2XS^{2}-5X-3.}$
    5. ${\displaystyle 2X^{5}+2X^{4}-2X^{3}-2X,}$ ${\displaystyle 3X^{6}-4X^{4}+3X^{3}+4X}$ y ${\displaystyle 4X^{4}-4X^{3}+3X^{2}-3X.}$
    6. ${\displaystyle X^{24}-1}$ y ${\displaystyle X^{15}-1.}$
    7. ${\displaystyle X^{48}-1}$ y ${\displaystyle X^{12}-1.}$
    8. ${\displaystyle X^{m}-1}$ y ${\displaystyle X^{n}-1.}$
12. Mostrar que cuando el polinomio ${\displaystyle f}$ es primo con los polinomios ${\displaystyle g}$ y ${\displaystyle h}$ (un máximo común divisor es 1), también lo será con ${\displaystyle gh.}$
13. Mostrar que si los polinomios ${\displaystyle f}$ y ${\displaystyle g}$ son primos entre sí, también lo serán ${\displaystyle f+g}$ y ${\displaystyle fg.}$
14. Sobre el cuerpo ${\displaystyle \mathbb {Z} _{7},}$ hallar un polinomio ${\displaystyle f}$ de grado 2 tal que ${\displaystyle f_{1}=4,}$ ${\displaystyle f(2)=0}$ y ${\displaystyle f(6)=1.}$
15. Probar que los polinomios de grado 1 sobre un cuerpo son irreducibles.
16. Probar que en ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}[X]}$ dos polinomios son asociados, ssi, son iguales.

Las siguientes proposiciones nos ayudarán a determinar los ceros de ${\displaystyle f}$ en ${\displaystyle A[X].}$ Tal determinación, como veremos es equivalente a determinar los factores lineales de ${\displaystyle f,}$

Proposición 7. (Teorema del Residuo) Sea ${\displaystyle A}$ un anillo conmutativo con identidad, ${\displaystyle f}$ un polinomio en ${\displaystyle A[X].}$ Sea ${\displaystyle a}$ un elemento de ${\displaystyle A.}$ El residuo de la división de ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle X-a}$ es exactamente ${\displaystyle f(a).}$

Demostración: Por el algoritmo de la división aplicado a ${\displaystyle g=X-a}$ (que tiene coeficiente líder invertible), obtenemos que ${\displaystyle f=q(X-a)+r}$

donde ${\displaystyle r}$ tiene grado menor que ${\displaystyle X-a.}$ Por lo tanto, ${\displaystyle r}$ será un polinomio de grado cero o el polinomio nulo. Evaluando en ${\displaystyle a,}$ obtendremos el resultado.

Corolario 7.1. (Teorema del Factor) Sea ${\displaystyle A}$ un anillo conmutativo con identidad, ${\displaystyle f}$ un polinomio de ${\displaystyle A[X].}$ Un elemento ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle A}$ es un cero de ${\displaystyle f,}$ ssi, ${\displaystyle X-a}$ es un factor de ${\displaystyle f.}$

Demostración: Por el algoritmo de la división, habrá polinomios ${\displaystyle q}$ y ${\displaystyle r}$ tales que: ${\displaystyle f(X)=q(X)(X-a)+r(X).}$

Si ${\displaystyle a}$ es un cero de ${\displaystyle f,}$ se tendrá que ${\displaystyle 0=0+r(X),}$ de donde ${\displaystyle r(X)=0,}$ y en consecuencia, ${\displaystyle X-a}$ será un factor de ${\displaystyle f.}$ En forma recíproca, si ${\displaystyle (X-a)}$ es un factor de ${\displaystyle f,}$ el residuo será nulo.

Ejemplo.

Sea ${\displaystyle f=5X^{3}-13X+4X+4}$ en ${\displaystyle \mathbb {Q} [X].}$ Como ${\displaystyle f(1)=0}$ se tiene que ${\displaystyle X-1}$ es un factor de ${\displaystyle f.}$ Dividiendo ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle X-1,}$ obtenemos como cociente a ${\displaystyle g=5X^{2}-8X-4.}$ Usando la fórmula cuadrática, obtenemos que ${\displaystyle g(x)=0,}$ ssi,

Lo que nos da los ceros adicionales ${\displaystyle 2}$ y ${\displaystyle -2/5.}$ Por lo que tendremos que

Por lo que ${\displaystyle V_{\mathbb {Q} }(f)=\{1,2,-2/5\}.}$

Ejemplo.

Sea ${\displaystyle f=X^{3}-1}$ en ${\displaystyle \mathbb {Z} [X].}$ Claramente 1 es un cero de ${\displaystyle f,}$ por lo que tiene el factor ${\displaystyle X-1.}$ Dividiendo ${\displaystyle f}$ por ${\displaystyle X-1,}$ obtendremos como cociente ${\displaystyle g=X^{2}+X+1.}$ Como

vemos que ${\displaystyle g}$ no tiene otro cero entero, de hecho ni siquiera reales. Luego, ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} }(f)=V_{t}{\mathbb {Q} }(f)=V_{\mathbb {R} }(f)=\{1\}.}$ Sobre los Complejos, ${\displaystyle V_{\mathbb {C} }(f)=\{1,(-1\pm i{\sqrt {3}})/2\}.}$

Ejemplo.

Hallar los ceros de ${\displaystyle f=X^{3}+2}$ de ${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}[X],}$

Resolución. Los cuerpos finitos, precisamente por su finitud y especialmente cuando la cantidad de elementos es pequeña, se prestan para evaluaciones exhaustivas de sus elementos. En este caso ${\displaystyle f_{0}=2,}$ ${\displaystyle f(1)=0,}$ ${\displaystyle f(2)=1.}$ Luego, ${\displaystyle V_{\mathbb {Z} _{3}}(f)=\{1\}.}$

Observemos que cuando ${\displaystyle f}$ es un polinomio no nulo divisible por un polinomio mónico ${\displaystyle g,}$ digamos que ${\displaystyle f=qg,}$ se tiene que ${\displaystyle g}$ no es un divisor de cero en A[X]. Por lo que tenemos que ${\displaystyle {\text{gr}}(f)={\text{gr}}(q)+{\text{gr}}(g).}$ Luego, ${\displaystyle {\text{gr}}(g)\leq {\text{gr}}(f).}$

Multiplicidad. Sea ${\displaystyle a}$ un cero de ${\displaystyle f.}$ Sea ${\displaystyle n}$ el mayor entero positivo tal que ${\displaystyle (X-a)^{n}|f.}$ En tal situación, decimos que ${\displaystyle a}$ es un cero múltiple con multiplicidad ${\displaystyle n.}$ Sigue de la observación anterior que la multiplicidad es inferior al grado de ${\displaystyle f.}$ Cuando la multiplicidad es 1, decimos que el cero es simple. Denotaremos por ${\displaystyle \nu _{a}(f)}$ la multiplicidad de ${\displaystyle a}$ en el polinomio ${\displaystyle f.}$

En los polinomios sobre los Reales o los Complejos, un polinomio de grado ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ tiene a lo más ${\displaystyle n}$ ceros. En general, lo anterior no es cierto, como lo muestra el siguiente ejemplo.

Ejemplo.

Sea ${\displaystyle A=\mathbb {Z} _{6}}$ y sea ${\displaystyle f=X^{2}+3X+2.}$ La tabla siguiente muestra la evaluación de ${\displaystyle f}$ en los elementos de ${\displaystyle A.}$