Matemáticas/Geometría/Ángulos/Amplitud

Se llama amplitud de un ángulo a la medida de este.^[1]

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

• Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

${\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=2\pi \;\mathrm {rad} }$

• Grado sexagesimal

${\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=360^{\circ }}$

• Grado centesimal

${\displaystyle 1{\text{ vuelta}}=400^{\rm {g}}}$

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

• La equivalencia entre grados sexagesimales y radianes es: π rad = 180°. Por tanto

1 radián = 57.29577951... grados sexagesimales y

1 grado sexagesimal = 0.01745329252... radianes.

• La equivalencia entre grados centesimales y radianes es: π rad = 200^g

La tabla muestra la conversión de los ángulos más comunes.

Otras unidades de medida de ángulos convencionales son el grado sexagesimal, el grado centesimal y, en astronomía, la hora.

• El radián tiene una unidad derivada llamada radián por segundo (rad/s), que corresponde a la magnitud [[velocidad angular. Esta unidad tiene una equivalencia con las rpm. Las equivalencias se pueden calcular fácilmente haciendo la siguiente relación:

${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {rev}{min}}={\frac {2\pi \ rad}{60\ s}}}}}$, que simplificada es: ${\displaystyle {\rm {rpm={\frac {\pi }{30}}{\frac {rad}{s}}}}}$, o bien: ${\displaystyle {\rm {{\frac {rad}{s}}={\frac {30}{\pi }}\ rpm}}}$.

Es decir que, para pasar una cantidad x de rpm a rad/s tenemos que multiplicarla por π/30:

${\displaystyle x{\rm {\ rpm\cdot {\frac {{\frac {\pi }{30}}\ rad/s}{rpm}}=}}}$${\displaystyle \;x\cdot {\frac {\pi }{30}}{\rm {\ rad/s=}}}$${\displaystyle \;x'{\rm {\ rad/s}}}$

Análogamente, para pasar una cantidad y de rad/s a rpm tenemos que multiplicarla por 30/π:

${\displaystyle y{\rm {\ rad/s\cdot {\frac {{\frac {30}{\pi }}\ rpm}{rad/s}}=}}}$${\displaystyle \;y\cdot {\frac {30}{\pi }}{\rm {\ rpm=}}}$${\displaystyle \;y'{\rm {\ rpm}}}$

Se parte de la base de que una circunferencia completa tiene ${\displaystyle 2\pi }$ radianes, y que una circunferencia tiene 360° sexagesimales, luego tenemos:

${\displaystyle {\rm {{360}\;{grados}={2\pi }\;{radianes}}}}$

${\displaystyle {\rm {{180}\;{grados}={\pi }\;{radianes}}}}$

Haciendo una regla de tres simple se llega a que el factor de conversión de grados sexagesimales a radianes es:

${\displaystyle {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}}$

Luego tenemos que, para un ángulo x dado en grados, su equivalente X en radianes es:

${\displaystyle X=x\cdot {\frac {\pi }{180}}\cdot {\rm {\frac {radianes}{grados}}}}$

y viceversa (si tenemos que, para un ángulo X dado en radianes, su equivalente x en grados es):

${\displaystyle x=X\cdot {\frac {180}{\pi }}\cdot {\rm {\frac {grados}{radianes}}}}$

Unidades	Valores
Revolución	0	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{12}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{8}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\tau }{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\tau }$	${\displaystyle 1\tau \,}$
Grados sexagesimales	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Radianes	0	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle \pi \,}$	${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}}}$	${\displaystyle 2\pi \,}$
Grados centesimales	0g	${\displaystyle {\tfrac {100^{\rm {g}}}{3}}}$	50g	${\displaystyle {\tfrac {200^{\rm {g}}}{3}}}$	100g	200g	300g	400g

1. ↑ Real Academia de Ciencias Exactas, Física y Naturales, ed (1999). Diccionario esencial de las ciencias. Espsa. ISBN 84-239-7921-0.