Matemáticas/Transformada de Laplace/Propiedades

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'(t)\}=s{\mathcal {L}}\{f(t)\}-f(0)}$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''(t)\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}(t)\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-s^{n-1}f(0)-\dots -f^{(n-1)}(0)}$ ${\displaystyle =s^{n}{\mathcal {L}}\{f(t)\}-\sum _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int _{0^{-}}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{-as}F(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)}$

Nota: ${\displaystyle u(t)}$ es la función escalón unitario.

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}f(t)\}=(-1)^{n}D_{s}^{n}[F(s)]}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f*g\}=F(s)G(s)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int _{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{(e^{t^{2}})\}}$ (que crece más rápido que ${\displaystyle e^{-st}}$) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que ${\displaystyle e^{t^{2}}}$, es una función de orden exponencial de ángulos.

Sea una función ${\displaystyle f\in \varepsilon }$ derivable a trozos y que ${\displaystyle f^{\prime }\in \varepsilon .}$ Entonces :

${\displaystyle f(0^{+})=\lim _{s\to \infty }{sF(s)}}$

${\displaystyle \varepsilon }$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.

Sea${\displaystyle f\in \varepsilon }$ una función derivable a trozos tal que ${\displaystyle f^{\prime }\in \varepsilon }$.Entonces :

${\displaystyle f(\infty )=\lim _{s\to 0}{sF(s)}}$

${\displaystyle \varepsilon }$ es el conjunto de funciones continuas a trozos con orden exponencial.