Variable Compleja/Operaciones de números complejos/Potenciación

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

${\displaystyle (6-3i)^{2}=6^{2}-2\cdot 6\cdot 3i+(3i)^{2}=36-36i+9i^{2}=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i\,.}$

esto es para explicar el proceso de potenciacion

• Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, ${\displaystyle z=r(\cos \phi +i\operatorname {sen} \phi )}$, según el Teorema de Moivre:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]}$.

• Entero negativo

${\displaystyle z^{-n}=\left({\frac {1}{z^{n}}}\right)}$, donde el entero ${\displaystyle n\geq 2}$

• Exponente racional. La ecuación

${\displaystyle z=\alpha ^{\frac {p}{q}}}$ significa ${\displaystyle z^{q}=\alpha ^{p}}$, en donde se toman en cuenta todas las soluciones z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí.

. Se deduce

${\displaystyle |z|^{q}=|\alpha |^{p}}$ y ${\displaystyle q\times \arg z=p\times \arg \alpha +2k\pi }$

. En consecuencia

${\displaystyle |z|=|\alpha |^{\frac {p}{q}}}$ y ${\displaystyle \arg z={\frac {p}{q}}\times \arg \alpha +{\frac {2k\pi }{q}}}$

considerando ${\displaystyle k=0,1,..,q-1}$, se obtienen ${\displaystyle q}$ resultados.

• Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces ${\displaystyle z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp(\alpha \times \ln z)}$

Un ejemplo sencillo: ${\displaystyle (-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]}$