Matemáticas/Aritmética/Operaciones con números complejos

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i).
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo. Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

Para sumar números complejos, se siguen las normas básicas de la aritmética, sumando los reales con los reales y los imaginarios con los imaginarios:

${\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,}$

Ejemplo de suma:

${\displaystyle (4+2i)+(3+2i)=4+2i+3+2i=4+3+2i+2i=(4+3)+(2+2)i=}$

el resultado es 7 + 4i

Al igual que en la suma, se opera como con los números reales ordinarios:

${\displaystyle (36+36i)-(11+11i)=(36-11)+(36i-11i)=25-25i\,}$

${\displaystyle 6(6+6i)-(5+5i)=(36-5)+(36i-5i)=31+31i\,}$

La multiplicación de forma rectángular se compone de un binomio al cuadrado:

${\displaystyle (a+bi)\cdot (c+di)=(ac+adi+bic+bdi^{2})=((ac-bd)+(ad+bc)i)}$

Ya que ${\displaystyle i^{2}=-1}$

La multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=rse^{\mathrm {i} (\phi +\psi )}\Leftrightarrow z_{1}z_{2}=re^{\mathrm {i} \phi }se^{\mathrm {i} \psi }}$

La división en forma rectangular se compone de una racionalización:

${\displaystyle {\frac {(a+bi)}{(c+di)}}={((ac+bd)+(bc-ad)i) \over c^{2}+d^{2}}=\left({(ac+bd)+(bc-ad)i \over c^{2}+d^{2}}\right)}$

La división de números complejos es recomendable con la notación polar:

${\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r}{s}}e^{\mathrm {i} (\phi -\psi )}}$

Para elevar un número complejo a un exponente entero, se aplican las identidades notables (cuadrado de la suma) . Se debe tener en cuenta la igualdad ${\displaystyle i^{2}=-1}$:

${\displaystyle (6-3i)^{2}=6^{2}-2\cdot 6\cdot 3i+(3i)^{2}=36-36i+9i^{2}=36-36i+9(-1)=36-36i-9=27-36i\,.}$

esto es para explicar el proceso de potenciacion

• Exponente natural y entero. Sea el número complejo, en notación trigonométrica, ${\displaystyle z=r(\cos \phi +i\operatorname {sen} \phi )}$, según el Teorema de Moivre:

${\displaystyle z^{n}=r^{n}[\cos n\phi +i\operatorname {sen} n\phi ]}$.

• Entero negativo

${\displaystyle z^{-n}=\left({\frac {1}{z^{n}}}\right)}$, donde el entero ${\displaystyle n\geq 2}$

• Exponente racional. La ecuación

${\displaystyle z=\alpha ^{\frac {p}{q}}}$ significa ${\displaystyle z^{q}=\alpha ^{p}}$, en donde se toman en cuenta todas las soluciones z posibles. Se supone que p y q son primos entre sí.

. Se deduce

${\displaystyle |z|^{q}=|\alpha |^{p}}$ y ${\displaystyle q\times \arg z=p\times \arg \alpha +2k\pi }$

. En consecuencia

${\displaystyle |z|=|\alpha |^{\frac {p}{q}}}$ y ${\displaystyle \arg z={\frac {p}{q}}\times \arg \alpha +{\frac {2k\pi }{q}}}$

considerando ${\displaystyle k=0,1,..,q-1}$, se obtienen ${\displaystyle q}$ resultados.

• Exponente complejo. Si z y α son números complejos entonces ${\displaystyle z^{\alpha }=e^{\alpha \ln z}=\exp(\alpha \times \ln z)}$

Un ejemplo sencillo: ${\displaystyle (-2)^{\sqrt {2}}=2^{\sqrt {2}}[\cos(2k+1)\pi {\sqrt {2}}+i\operatorname {sen}(2k+1)\pi {\sqrt {2}}]}$

Para obtener las ${\displaystyle n}$ raíces de un número complejo, se aplica:

${\displaystyle z^{1/n}=\left[r\left(\cos x+i\sin x\right)\right]^{1/n}=r^{1/n}\left[\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)\right]}$

donde ${\displaystyle k}$ es un número entero que va desde ${\displaystyle 0}$ hasta ${\displaystyle n-1}$, que al sustituirlo en la fórmula permite obtener las ${\displaystyle n}$ raíces diferentes de ${\displaystyle z}$.

• De Moivre's Theorem for Trig Identities by Michael Croucher, Wolfram Demonstrations Project.